Da astronomia ao seu relógio.

Tudo começa com quatro ângulos que crescem quase linearmente com o tempo. Os astrónomos chamam-lhes argumentos fundamentais. São os ponteiros lentos do relógio lunar: a Lua em relação ao Sol, o Sol em relação à sua própria órbita, a Lua em relação ao seu ponto mais próximo e a Lua em relação ao ponto onde cruza a eclíptica.

Cada termo de correção é um seno ou um cosseno de uma combinação inteira daqueles quatro ângulos, escalado por uma amplitude. A longitude leva 13 deles, a latitude eclíptica leva 7 e a distância em quilómetros leva 5.

As amplitudes caem depressa e cada uma tem um nome e uma causa física.

• 6.289°A equação do centro. A órbita é uma elipse, por isso a Lua adianta-se a um círculo uniforme perto do perigeu e atrasa-se perto do apogeu.
• 1.274°A evecção. O Sol estica a órbita de forma diferente consoante a direção do eixo maior, descoberta por Ptolomeu.
• 0.658°A variação. A Lua acelera perto da lua nova e da cheia e abranda perto dos quartos.
• 0.186°A equação anual. A própria órbita da Terra é elíptica, por isso a atração solar respira ao longo de um ano.

Um dia sideral é o tempo que a Terra leva a dar uma volta em relação às estrelas e não ao Sol. É cerca de quatro minutos mais curto do que um dia solar, e é exatamente por isso que a mesma estrela nasce quatro minutos mais cedo a cada noite. O tempo sideral é um polinómio em dias desde J2000 e, somando a sua longitude, torna-se tempo sideral local.

Assim que tem o ângulo horário, o resto é uma única rotação de uma esfera. A altura diz a que altura acima do horizonte está um objeto. O azimute diz para que lado se virar.

O tamanho do efeito é fixado por um único ângulo: quão grande parece o raio da Terra visto da Lua. É a paralaxe horizontal e, à distância média, ronda os 57 minutos de arco.

Um manual dividiria agora pelo cosseno da altura, o que funciona até olhar a direito para cima ou estar num polo. O Moon Metrics Pro aplica antes a correção como um único arco tangente de dois argumentos: não há divisão que rebente nem caso especial para recordar.

Duas correções somam-se. A primeira é o semidiâmetro, metade da largura aparente do disco, que muda com a distância. A segunda é a refração no horizonte, fixada por convenção em 34 minutos de arco. O relógio segue um único sinal que já contém ambas, e um evento é simplesmente o instante em que esse sinal cruza o zero.

Se isso importa depende de quão a pique a Lua encontra o horizonte, e isso depende da sua latitude. Nos trópicos a Lua desce quase na vertical e a convenção vale alguns minutos. No extremo norte pode deslizar muito tempo ao longo do horizonte, e os mesmos 0,83° tornam-se uma correção grande.

O primeiro ângulo é o ângulo de posição do limbo iluminado, medido a partir do norte celeste. Depende apenas de como o Sol e a Lua se situam um em relação ao outro na esfera.

O segundo ângulo é o ângulo paraláctico, que roda o norte celeste para a direção a que chama cima. É aqui que a fórmula habitual falha. Escrita com uma tangente da latitude, foge para o infinito nos polos e, como um arco tangente de um só argumento cobre apenas meia volta, precisa ainda de uma correção de quadrante à parte. Escrita como arco tangente de dois argumentos, continua simplesmente a funcionar.

Cada sinal está construído de modo que o zero seja exatamente aquilo que lhe interessa. O sinal da Lua já leva consigo o semidiâmetro e a refração. Os quatro sinais solares são a altura do Sol deslocada pelos limiares padrão. Uma mudança de sinal entre duas amostras significa que entre elas há um evento.

• s₀Altura do limbo superior da Lua. Zero é o nascer ou o pôr da Lua.
• s₁O seno do ângulo horário. Zero é a passagem meridiana, o ponto mais alto da noite.
• s₂Altura do Sol mais 0,8333°. Zero é o nascer ou o pôr do Sol.
• s₃Altura do Sol mais 6°. Zero é o limite do crepúsculo civil.
• s₄Altura do Sol mais 12°. Zero é o limite do crepúsculo náutico.
• s₅Altura do Sol mais 18°. Zero é o início da noite astronómica.

O caso que parte o código ingénuo

Acima do Círculo Polar Ártico a Lua pode subir a raspar o horizonte e voltar a descer dentro de um único passo de 15 minutos. Ambos os extremos são negativos, o produto é positivo, e uma simples verificação de sinal não reporta nada. Dois eventos reais desaparecem.

Por isso, quando os sinais concordam mas o sinal se mantém a menos de um grau do zero, o varrimento ajusta uma parábola aos dois extremos e ao ponto médio, resolve para o vértice e depois delimita cada metade em separado. Se a curva realmente rompeu a superfície, ambos os contactos são recuperados.

Uma Lua iluminada a meio não é metade tão brilhante como uma cheia. É cerca de um décimo. O solo lunar dispersa a luz de volta para a sua fonte, por isso o brilho dispara perto da oposição. Krisciunas e Schaefer captaram isso com uma magnitude que se curva com o ângulo de fase.

A luz que chega perto do horizonte atravessou muito mais ar do que a que vem de cima. A massa de ar de Kasten e Young descreve isso e, ao contrário da secante ingénua, mantém-se finita até ao próprio horizonte.