De la astronomía a tu reloj.

Todo empieza con cuatro ángulos que crecen casi linealmente con el tiempo. Los astrónomos los llaman argumentos fundamentales. Son las manecillas lentas del reloj lunar: la Luna respecto al Sol, el Sol respecto a su propia órbita, la Luna respecto a su punto más cercano y la Luna respecto al punto donde cruza la eclíptica.

Cada término correctivo es un seno o un coseno de una combinación entera de esos cuatro ángulos, escalado por una amplitud. La longitud usa 13 de ellos, la latitud eclíptica 7 y la distancia en kilómetros 5.

Las amplitudes caen deprisa y cada una tiene un nombre y una causa física.

• 6.289°La ecuación del centro. La órbita es una elipse, así que la Luna se adelanta a un círculo uniforme cerca del perigeo y se retrasa cerca del apogeo.
• 1.274°La evección. El Sol estira la órbita de forma distinta según hacia dónde apunte el eje mayor, descubierta por Ptolomeo.
• 0.658°La variación. La Luna acelera cerca de la luna nueva y la llena, y frena cerca de los cuartos.
• 0.186°La ecuación anual. La órbita de la Tierra es a su vez elíptica, así que la atracción solar respira a lo largo del año.

Un día sidéreo es el tiempo que tarda la Tierra en girar una vez respecto a las estrellas y no respecto al Sol. Es unos cuatro minutos más corto que un día solar, y justo por eso la misma estrella sale cuatro minutos antes cada noche. El tiempo sidéreo es un polinomio en días desde J2000 y, al sumarle tu longitud, se convierte en tiempo sidéreo local.

Una vez que tienes el ángulo horario, el resto es una sola rotación de una esfera. La altura dice a qué altura sobre el horizonte está un objeto. El acimut dice hacia dónde girarte.

El tamaño del efecto lo fija un solo ángulo: cuán grande se ve el radio de la Tierra desde la Luna. Es el paralaje horizontal y, a distancia media, ronda los 57 minutos de arco.

Un libro de texto dividiría ahora por el coseno de la altura, lo que va bien hasta que miras justo hacia arriba o estás en un polo. Moon Metrics Pro aplica en su lugar la corrección como un único arcotangente de dos argumentos: sin división que estalle y sin caso especial que recordar.

Dos correcciones se suman. La primera es el semidiámetro, la mitad de la anchura aparente del disco, que cambia con la distancia. La segunda es la refracción en el horizonte, fijada por convención en 34 minutos de arco. El reloj sigue una única señal que ya contiene ambas, y un evento es simplemente el instante en que esa señal cruza el cero.

Que eso importe depende de lo empinada que sea la llegada de la Luna al horizonte, y eso depende de tu latitud. En los trópicos la Luna cae casi en vertical y la convención vale unos minutos. En el extremo norte puede deslizarse mucho tiempo por el horizonte, y esos mismos 0,83° se convierten en una corrección grande.

El primer ángulo es el ángulo de posición del limbo iluminado, medido desde el norte celeste. Solo depende de cómo se sitúan el Sol y la Luna uno respecto al otro en la esfera.

El segundo ángulo es el ángulo paraláctico, que gira el norte celeste hacia la dirección que llamas arriba. Aquí es donde la fórmula habitual se tuerce. Escrita con una tangente de la latitud, se dispara al infinito en los polos y, como un arcotangente de un solo argumento solo cubre media vuelta, necesita además una corrección de cuadrante aparte. Escrita como arcotangente de dos argumentos, simplemente sigue funcionando.

Cada señal está construida para que el cero sea exactamente lo que te importa. La señal lunar ya lleva su semidiámetro y la refracción. Las cuatro señales solares son la altura del Sol desplazada por los umbrales estándar. Un cambio de signo entre dos muestras significa que entre ellas hay un evento.

• s₀Altura del limbo superior de la Luna. Cero es la salida o la puesta de la Luna.
• s₁El seno del ángulo horario. Cero es el tránsito, el punto más alto de la noche.
• s₂Altura del Sol más 0,8333°. Cero es la salida o la puesta del Sol.
• s₃Altura del Sol más 6°. Cero es el límite del crepúsculo civil.
• s₄Altura del Sol más 12°. Cero es el límite del crepúsculo náutico.
• s₅Altura del Sol más 18°. Cero es el inicio de la noche astronómica.

El caso que rompe el código ingenuo

Por encima del Círculo Polar Ártico la Luna puede subir a rozar el horizonte y volver a bajar dentro de un solo paso de 15 minutos. Ambos extremos son negativos, el producto es positivo, y una simple comprobación de signo no informa de nada. Dos eventos reales se desvanecen.

Así que, cuando los signos coinciden pero la señal se mantiene a menos de un grado del cero, el barrido ajusta una parábola por los dos extremos y el punto medio, resuelve el vértice y luego acota cada mitad por separado. Si la curva de verdad rompió la superficie, ambos contactos se recuperan.

Una Luna iluminada a la mitad no es la mitad de brillante que una llena. Es alrededor de una décima parte. El suelo lunar dispersa la luz de vuelta hacia su fuente, así que el brillo se dispara cerca de la oposición. Krisciunas y Schaefer capturaron eso con una magnitud que se curva con el ángulo de fase.

La luz que llega cerca del horizonte ha atravesado mucho más aire que la que viene de arriba. La masa de aire de Kasten y Young describe eso y, a diferencia de la secante ingenua, se mantiene finita hasta el horizonte mismo.