Von der Astronomie an Ihr Handgelenk.

Alles beginnt mit vier Winkeln, die fast linear mit der Zeit wachsen. Astronomen nennen sie die fundamentalen Argumente. Sie sind die langsamen Zeiger der Monduhr: der Mond relativ zur Sonne, die Sonne relativ zu ihrer eigenen Bahn, der Mond relativ zu seinem erdnächsten Punkt und der Mond relativ zu der Stelle, an der er die Ekliptik kreuzt.

Jedes Korrekturglied ist ein Sinus oder Kosinus einer ganzzahligen Kombination dieser vier Winkel, skaliert mit einer Amplitude. Die Länge braucht 13 davon, die ekliptikale Breite 7 und die Entfernung in Kilometern 5.

Die Amplituden fallen schnell ab, und jede trägt einen physikalischen Namen und eine physikalische Ursache.

• 6.289°Die Mittelpunktsgleichung. Die Bahn ist eine Ellipse, also eilt der Mond einem gleichförmigen Kreis nahe dem Perigäum voraus und bleibt nahe dem Apogäum zurück.
• 1.274°Die Evektion. Die Sonne dehnt die Bahn je nach Richtung der großen Achse unterschiedlich, entdeckt von Ptolemäus.
• 0.658°Die Variation. Der Mond beschleunigt nahe Neu- und Vollmond und wird nahe den Vierteln langsamer.
• 0.186°Die jährliche Gleichung. Die Erdbahn ist selbst elliptisch, also atmet die Anziehung der Sonne über ein Jahr hinweg.

Ein Sterntag ist die Zeit, die die Erde für eine Umdrehung gegenüber den Sternen statt gegenüber der Sonne braucht. Er ist rund vier Minuten kürzer als ein Sonnentag, und genau deshalb geht derselbe Stern jede Nacht vier Minuten früher auf. Die Sternzeit ist ein Polynom in Tagen seit J2000; addiert man den eigenen Längengrad, wird daraus die lokale Sternzeit.

Hat man den Stundenwinkel, ist der Rest eine einzige Drehung einer Kugel. Die Höhe sagt, wie weit über dem Horizont ein Objekt steht. Der Azimut sagt, in welche Richtung Sie sich drehen müssen.

Die Größe des Effekts bestimmt ein einziger Winkel: wie groß der Erdradius vom Mond aus erscheint. Das ist die Horizontalparallaxe, und bei mittlerer Entfernung beträgt sie rund 57 Bogenminuten.

Ein Lehrbuch würde nun durch den Kosinus der Höhe teilen. Das geht gut, bis Sie senkrecht nach oben schauen oder an einem Pol stehen. Moon Metrics Pro wendet die Korrektur stattdessen als einen einzigen Arkustangens mit zwei Argumenten an: keine Division, die explodieren kann, und kein Sonderfall, an den man denken muss.

Zwei Korrekturen stapeln sich. Die erste ist der Halbmesser, die halbe scheinbare Breite der Scheibe, die sich mit der Entfernung ändert. Die zweite ist die Refraktion am Horizont, konventionell auf 34 Bogenminuten festgelegt. Die Uhr verfolgt ein einziges Signal, das beides bereits enthält, und ein Ereignis ist schlicht der Moment, in dem dieses Signal die Null kreuzt.

Ob das eine Rolle spielt, hängt davon ab, wie steil der Mond auf den Horizont trifft, und das hängt von Ihrem Breitengrad ab. In den Tropen fällt der Mond fast senkrecht, und die Konvention ist ein paar Minuten wert. Hoch im Norden kann er lange am Horizont entlanggleiten, und dieselben 0,83° werden zu einer großen Korrektur.

Der erste Winkel ist der Positionswinkel des hellen Rands, gemessen von Himmelsnord. Er hängt nur davon ab, wie Sonne und Mond auf der Kugel zueinander stehen.

Der zweite Winkel ist der parallaktische Winkel, der Himmelsnord in die Richtung dreht, die Sie oben nennen. Hier geht die übliche Formel schief. Mit einem Tangens der geografischen Breite geschrieben, läuft sie an den Polen ins Unendliche, und weil ein Arkustangens mit einem Argument nur eine halbe Umdrehung abdeckt, braucht sie zusätzlich eine eigene Quadrantenkorrektur. Als Arkustangens mit zwei Argumenten geschrieben, funktioniert sie einfach weiter.

Jedes Signal ist so gebaut, dass die Null genau das ist, was Sie interessiert. Das Mondsignal trägt seinen Halbmesser und die Refraktion bereits in sich. Die vier Sonnensignale sind die Sonnenhöhe, verschoben um die üblichen Schwellen. Ein Vorzeichenwechsel zwischen zwei Abtastungen bedeutet, dass dazwischen ein Ereignis liegt.

• s₀Höhe des Mondoberrands. Null ist Mondauf- oder Monduntergang.
• s₁Der Sinus des Stundenwinkels. Null ist der Meridiandurchgang, der höchste Punkt der Nacht.
• s₂Sonnenhöhe plus 0,8333°. Null ist Sonnenauf- oder Sonnenuntergang.
• s₃Sonnenhöhe plus 6°. Null ist die Grenze der bürgerlichen Dämmerung.
• s₄Sonnenhöhe plus 12°. Null ist die Grenze der nautischen Dämmerung.
• s₅Sonnenhöhe plus 18°. Null ist der Beginn der astronomischen Nacht.

Der Fall, an dem naiver Code scheitert

Nördlich des Polarkreises kann der Mond aufsteigen, den Horizont streifen und wieder absinken – alles innerhalb eines einzigen 15-Minuten-Schritts. Beide Endpunkte sind negativ, das Produkt ist positiv, und eine einfache Vorzeichenprüfung meldet gar nichts. Zwei echte Ereignisse verschwinden.

Wenn die Vorzeichen also übereinstimmen, das Signal aber innerhalb eines Grades um null bleibt, legt die Suche eine Parabel durch die beiden Endpunkte und den Mittelpunkt, löst nach dem Scheitel auf und schließt dann beide Hälften getrennt ein. Hat die Kurve die Oberfläche wirklich durchbrochen, werden beide Kontakte gefunden.

Ein halb beleuchteter Mond ist nicht halb so hell wie ein voller. Er ist etwa ein Zehntel so hell. Mondboden streut Licht zu seiner Quelle zurück, deshalb schießt die Helligkeit nahe der Opposition steil hoch. Krisciunas und Schaefer haben das mit einer Helligkeit erfasst, die sich mit dem Phasenwinkel krümmt.

Licht, das nahe dem Horizont ankommt, hat weit mehr Luft durchquert als Licht von oben. Die Luftmasse nach Kasten und Young beschreibt das, und anders als der naive Sekans bleibt sie bis zum Horizont selbst endlich.