De l'astronomie à votre montre.

Tout commence par quatre angles qui croissent presque linéairement avec le temps. Les astronomes les appellent les arguments fondamentaux. Ce sont les aiguilles lentes de l'horloge lunaire : la Lune par rapport au Soleil, le Soleil par rapport à sa propre orbite, la Lune par rapport à son point le plus proche, et la Lune par rapport au point où elle croise l'écliptique.

Chaque terme correctif est un sinus ou un cosinus d'une combinaison entière de ces quatre angles, pondéré par une amplitude. La longitude en prend 13, la latitude écliptique 7 et la distance en kilomètres 5.

Les amplitudes décroissent vite, et chacune porte un nom et une cause physiques.

• 6.289°L'équation du centre. L'orbite est une ellipse : la Lune devance un cercle uniforme près du périgée et se laisse distancer près de l'apogée.
• 1.274°L'évection. Le Soleil étire l'orbite différemment selon l'orientation du grand axe ; découverte par Ptolémée.
• 0.658°La variation. La Lune accélère près de la nouvelle et de la pleine lune, et ralentit près des quartiers.
• 0.186°L'équation annuelle. L'orbite terrestre est elle-même elliptique : l'attraction solaire respire au fil de l'année.

Un jour sidéral est le temps que met la Terre pour tourner une fois par rapport aux étoiles, et non par rapport au Soleil. Il est plus court d'environ quatre minutes qu'un jour solaire, et c'est exactement pour cela que la même étoile se lève quatre minutes plus tôt chaque nuit. Le temps sidéral est un polynôme en jours depuis J2000 ; en y ajoutant votre longitude, on obtient le temps sidéral local.

Une fois l'angle horaire en main, le reste n'est qu'une rotation de sphère. La hauteur indique à quelle hauteur au-dessus de l'horizon se trouve l'objet. L'azimut indique dans quelle direction se tourner.

L'ampleur de l'effet tient à un seul angle : la taille apparente du rayon terrestre vu depuis la Lune. C'est la parallaxe horizontale, qui vaut environ 57 minutes d'arc à distance moyenne.

Un manuel diviserait maintenant par le cosinus de la hauteur, ce qui marche jusqu'à ce que vous regardiez droit au zénith ou que vous vous teniez à un pôle. Moon Metrics Pro applique plutôt la correction comme un unique arc tangente à deux arguments : aucune division qui explose, aucun cas particulier à retenir.

Deux corrections se superposent. La première est le demi-diamètre, la moitié de la largeur apparente du disque, qui varie avec la distance. La seconde est la réfraction à l'horizon, fixée par convention à 34 minutes d'arc. La montre suit un seul signal qui contient déjà les deux, et un événement n'est que l'instant où ce signal traverse zéro.

Que cela compte ou non dépend de l'inclinaison avec laquelle la Lune rencontre l'horizon, et donc de votre latitude. Sous les tropiques, la Lune descend presque à la verticale et la convention vaut quelques minutes. Dans le Grand Nord, elle peut glisser longtemps le long de l'horizon, et ces mêmes 0,83° deviennent une grande correction.

Le premier angle est l'angle de position du bord éclairé, mesuré depuis le nord céleste. Il ne dépend que de la position relative du Soleil et de la Lune sur la sphère.

Le second angle est l'angle parallactique, qui fait tourner le nord céleste vers la direction que vous appelez le haut. C'est là que la formule habituelle déraille. Écrite avec une tangente de la latitude, elle part à l'infini aux pôles, et comme un arc tangente à un seul argument ne couvre qu'un demi-tour, elle exige en plus une correction de quadrant. Écrite comme un arc tangente à deux arguments, elle continue simplement de fonctionner.

Chaque signal est construit pour que le zéro soit exactement ce qui vous intéresse. Le signal lunaire porte déjà son demi-diamètre et la réfraction. Les quatre signaux solaires sont la hauteur du Soleil décalée des seuils standards. Un changement de signe entre deux échantillons signifie qu'un événement se trouve entre eux.

• s₀Hauteur du bord supérieur de la Lune. Zéro est le lever ou le coucher de Lune.
• s₁Le sinus de l'angle horaire. Zéro est le passage au méridien, le point le plus haut de la nuit.
• s₂Hauteur du Soleil plus 0,8333°. Zéro est le lever ou le coucher du Soleil.
• s₃Hauteur du Soleil plus 6°. Zéro est la limite du crépuscule civil.
• s₄Hauteur du Soleil plus 12°. Zéro est la limite du crépuscule nautique.
• s₅Hauteur du Soleil plus 18°. Zéro est le début de la nuit astronomique.

Le cas qui met en échec un code naïf

Au-delà du cercle polaire, la Lune peut monter effleurer l'horizon puis redescendre au cours d'un seul pas de 15 minutes. Les deux extrémités sont négatives, le produit est positif, et un simple test de signe ne signale rien du tout. Deux événements réels disparaissent.

Donc, quand les signes concordent mais que le signal reste à moins d'un degré de zéro, le balayage ajuste une parabole passant par les deux extrémités et le milieu, résout pour le sommet, puis encadre chaque moitié séparément. Si la courbe a réellement percé la surface, les deux contacts sont retrouvés.

Une Lune à moitié éclairée n'est pas moitié moins brillante qu'une pleine Lune. Elle l'est environ dix fois moins. Le sol lunaire renvoie la lumière vers sa source, si bien que l'éclat bondit près de l'opposition. Krisciunas et Schaefer ont saisi cela par une magnitude qui se courbe avec l'angle de phase.

La lumière qui arrive près de l'horizon a traversé bien plus d'air que celle venue du zénith. La masse d'air de Kasten et Young décrit cela et, contrairement à la sécante naïve, elle reste finie jusqu'à l'horizon lui-même.